Выясним, чему равен вписанный угол окружности и как его величина связана с величиной центрального угла.

градусные

Теорема

(О вписанном угле)

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

tsentralnyiy i vpisannyie uglyiДано: окружность (O; R),

∠ABС — вписанный,

∠AOС — центральный.

Доказать:

    \[\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC.\]

Доказательство:

1) Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.

Chemu raven vpisannyiy ugolВ треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны:∠ABO=∠BAO.

∠AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

∠AOC=∠ABO+∠BAO=2∙∠ABO. Отсюда, 

    \[\angle ABC = \frac{1}{2}\angle AOC.\]

2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.

vpisannyiy i tsentralnyiy uglyiПроведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF.

Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

    \[\angle ABF = \frac{1}{2}\angle AOF,\]

∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

    \[\angle FBC = \frac{1}{2}\angle FOC.\]

    \[\angle ABC = \angle ABF + \angle FBC = \]

    \[ = \frac{1}{2}\angle AOF + \frac{1}{2}\angle FOC = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle AOF + \angle FOC) = \frac{1}{2}AOC.\]

3) Если центр окружности лежит вне угла.

vpisannyiy ugol ravenПроведем диаметр BF.

∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

    \[\angle ABO = \frac{1}{2}\angle AOF.\]

∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

    \[\angle CBF = \frac{1}{2}\angle COF.\]

    \[\angle ABC = \angle ABF - \angle CBF = \]

    \[ = \frac{1}{2}\angle AOF - \frac{1}{2}\angle COF = \]

    \[ = \frac{1}{2}(\angle AOF - \angle COF) = \frac{1}{2}\angle AOC.\]

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если центральный угол AOC меньше либо равен 180º, то градусная мера дуги AC равна градусной мере центрального угла AOC:

    \[ \cup AC = \angle AOC\]

Если центральный угол AOC больше 180º, то градусная мера дуги AC равна 360º-∠AOC.

Таким образом, сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.

Другая формулировка теоремы о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    \[\angle ABC = \frac{1}{2} \cup AC.\]


Источник: http://www.treugolniki.ru/chemu-raven-vpisannyj-ugol/



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Как связаны градусные меры вписанного угла и. - Зубрить. com Как нарисовать зубы улыбку поэтапно

Как связаны градусные меры вписанного угла Как связаны градусные меры вписанного угла Как связаны градусные меры вписанного угла Как связаны градусные меры вписанного угла Как связаны градусные меры вписанного угла Как связаны градусные меры вписанного угла Как связаны градусные меры вписанного угла Как связаны градусные меры вписанного угла Как связаны градусные меры вписанного угла

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ